|
Fall 1:
Eine 8*8-Matrix
mit den Eigenwerten +/- 10sqrt(10405)
(=1020.049...)
sowie dem doppelten Eigenwert 1000 und
zwei weiteren Eigenwerten bei 1019... und 1020,
also einem sogenannten Eigenwertcluster, sowie 0 und
510-100sqrt(26)=0.09805.
Die gewöhnliche Vektoriteration
würde nicht konvergieren
und mit einem kleinen negativen Shift my nur sehr langsam
gegen
10sqrt(10405)+abs(my)
und das Wielandt-Verfahren mit Shift null findet
natürlich
den Eigenvektor zu lambda=0 sofort.
|
|
Fall 2:
[ 4 1 1 ]
[ 2 4 1 ]
[ 0 1 4 ]
mit den Eigenwerten 3,3,6 , die nicht diagonalähnlich
ist.
Die Eigenvektoren sind [0,1,-1]' und [3,4,2]'.
Die gewöhnliche Iteration konvergiert dennoch
(schnell)
und das Wielandtverfahren mit shift null sehr langsam.
|
| |
Fall 3:
[ 4 -5 0 3 ]
[ 0 4 -3 -5 ]
[ 5 -3 4 0 ]
[ 3 0 5 4 ]
mit den Eigenwerten 12,1+/- 5i, 2
den reellen Eigenvektoren [1,-1,1,1]' und [1,1,-1,1]'.
Hier versagt das Wielandtverfahren, wenn man einen
großen
negativen Shift wählt, der 1+/- 5i zum betragskleinsten
Eigenwert macht,
bzw. die direkte Iteration mit dem Shift
z.B. 6.
Hier tritt "falsche Konvergenz" auf,
d.h. der
Rayleighquotient konvergiert gegen den Realteil des
Eigenwertes, also 1-shift.
|
|
Fall 4:
Die "Balkenmatrix" (Quindiagonalmatrix)
mit den Diagonalen 1,..,1; -4,...,-4;
5,6,..,6,5; -4,...,-4; 1,...1,
und den Eigenwerten
16*sin(i*pi/(2(n+1)))**4, i=1,...,n,
wobei n wählbar ist mit 2<=n<=30.
Bitte geben Sie die Dimension der Matrix an:
n =
Wichtig : 3 <= n <= 30 !
|