Das QL-Verfahren

• Um alle Eigenwerte und Eigenvektoren einer reell-symmetrischen Matrix A zu bestimmen, wird in der Regel das QL-Verfahren verwendet. Aus Aufwandsgründen wendet man dies aber nur auf Dreibandmatrizen an (deren Struktur erhalten wird). Eine allgemeine symmetrische Matrix wird daher zunächst durch eine vorgeschaltete Householdertransformation auf Dreibandform gebracht.
  Dieses Verfahren kann auch gedeutet werden als ein Wielandt-Verfahren mit variablem Shift, kombiniert mit der Schur-Transformation auf obere Dreiecksgestalt, die in diesem Fall auf eine Diagonalgestalt führt. Mit A₀=T lautet dieses Verfahren:
  A_k-mu_kI= L_kQ_k
  A_k+1= Q_kL_k+mu_kI .
  Dabei ist L_k eine untere Bidiagonalmatrix, Q_k ein Produkt von n-1 Givensmatrizen und T die Tridiagonalmatrix, die man aus A durch Householder- Ähnlichkeitstransformation erhält. Als mu_k wählt man hier den sogenannten Wilkinsonshift, das ist der Eigenwert der linken oberen 2x2 Untermatrix von A_k, der näher am Element (1,1) liegt und im Falle gleicher Abstände der kleinere. Dieses Verfahren konvergiert immer und in der Regel superkubisch, d.h. das erste Nebendiagonalelement geht extrem schnell gegen null.
• Danach wird die Dimension der Matrix um eins reduziert In dieser neuen Matrix tritt der soeben bestimmte Eigenwert nicht mehr auf. Dieser Vorgang wiederholt sich, bis alle Eigenwerte bestimmt sind. Das Produkt aller angewendeten unitären Transformationen ist die angenäherte Eigenvektormatrix.

Die Eingaben

• Die Matrix kann aus vier Fällen ausgewählt werden:
  1. Eine 8x8-Matrix mit bekannter Eigenwertverteilung.
  2. Eine 5-Bandmatrix, die bei der Diskretisierung des Balkenbiegungs-Problems entsteht. Dimension variabel, Eigenwerte bekannt.
  3. Eine eigene Eigenwertverteilung kann angegeben werden, aus der mit Hilfe einer festen Eigenvektormatrix die Matrix A erzeugt wird.
  4. Das untere Dreieck einer eigenen Matrix A. Einträge zeilenweise, durch Kommata oder Leerzeichen getrennt.
• Die Dimension n der Matrix, falls der Fall 2,3,4 gewählt wurde. Im Falle der Matrix 2 muß 3 <= n <= 30 sein, sonst 2 <= n <= 30 !
• Ist die Ausgabe der Matrix A erwünscht ?
• Ist die Ausgabe der approximierten Eigenvektoren erwünscht ?

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die Matrix A, falls dies gewünscht war.
• Die approximativen Eigenwerte (falls kein Programmabbruch aufgetreten ist), und die Abweichung zu den echten Eigenwerten, falls diese bekannt sind.
• Die approximativen Eigenvektoren, falls dies gewünscht war.
• Ein kurzes Iterationsprotokoll, das für die Dimension n,n-1,...,3 die Schrittnummer und das erste Nebendiagonalelement a_2,1^(k) und die aktuelle Dimension der Matrix n(k) angibt. Für n=2 wird das Eigenwertproblem über das charakteristische Polynom gelöst.

Fragen ?!

• Wie hängt die Konvergenz von der Eigenwertverteilung ab ?
• Wie ist die Sensitivität der Eigenwerte und Eigenvektoren gegen Änderungen in der Matrix ?

Das Eingabeformular

Zurück: Eigenwertprobleme