Berechnung einer geschlossenen Kurve

• Eine wichtige Anwendung der Spline-Interpolation ist die Erzeugung geschlossener Kurven durch eine gegebene Anzahl von Datenpunkten.
• Eine geschlossene Kurve wird dabei interpretiert als eine vektorwertige periodische Funktion eines reellen Parameters, des Kurvenparameters. Die übliche Bezeichnung dafür ist z.B. s, wenn die Parametrisierung so gewählt ist, daß der Tangentenvektor stets die Länge 1 hat. Hier haben wir zunächst nur die gegebenen Werte (x_i,y_i), i=1,...,n. Wir setzen künstlich
  (x_n+1,y_n+1)=(x₁,y₁)
  und betrachten nun x_i und y_i als Funktionen eines Parameters t mit zugeordneten Werten t_i. Die natürlichste Wahl ist ohne Zusatzinformation sicher die Weglänge des interpolierenden Streckenzuges
  t_i=t_i-1+w_i-1sqrt((x_i-x_i-1)²+ (y_i-y_i-1)²), t₀=0
  mit den Gewichten w_i-1=1, aber wir erlauben hier auch andere positive Gewichtung, die auf die Form der Kurve einen grossen Einfluß hat.
• Nun wird für jede Komponente x bzw. y ein Spline bestimmt, bei welchem als Zusatzbedingung
  s_x'(a)=s_x'(b), s_x''(a)=s_x''(b)
  benutzt wird und für s_y ebenso. Hier ist nun a=0 und b=t_n+1. Ein solcher Spline heißt periodischer Spline. Wegen der Konstruktion der Anfangs- und Endwerte ist er automatisch zweimal stetig differenzierbar.
• So entsteht eine zweimal stetig differenzierbare geschlossene Kurve. Stammen die Daten selbst von einer solchen Kurve, dann ist der Approximationsfehler O(h²) wo h die maximale Differenz t_i-t_i-1 ist, weil die Parametrisierung mit der Streckenzuglänge einen zusätzlichen Fehler erzeugt . (Die Approximation einer periodischen C4-Funktion mit einem periodischen stückweise kubischen C2-Spline hat einen Fehler O(h⁴)) .

Die Eingaben

• Die Anzahl n der Punkte ist einzugeben.
• Die Koordinaten der Punkte werden als Zahlenpaar in der Form (x,y) eingegeben. Die einzelnen Punkte müssen nicht durch Leerzeichen oder Kommata getrennt werden. Wichtig: Aufeinanderfolgende Punkte müssen verschieden sein !
• Optional besteht die Möglichkeit, jedem Punkt eine Gewichtung zu geben. Die Gewichte müssen durch Leerzeichen oder Kommata getrennt werden.

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die geschlossenen Kurve selbst,
• deren Ableitung, das ist die Kurve der Ortsvektoren der Tangentenvektoren an die Kurve, und
• die Kurve der 2. Ableitungen.

Fragen ?!

• Wie wirkt sich eine Änderung der Parametrisierung auf die Kurve aus?
• Wie müßte man vorgehen, wenn man die Approximationsgüte der Splinekurve an eine "wahre" Kurve testen wollte?

Das Eingabeformular

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