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- Numerische Differentiation durch Differenzenquotienten
bedeutet, daß die Ableitung einer
Funktion an einer Stelle durch einen linearen Ausdruck
in den Funktionswerten angenähert wird.
- Bei diesem Programm werden drei Varianten der numerischen Differentiation
vorgestellt:
- ( f(x+h) - f(x) )/h , der einseitige Differenzenquotient
- ( f(x+h) - f(x-h)) /2h , der symmetrische Differenzenquotient
- Richardson-Extrapolation am symmetrischen Differenzenquotienten.
Theoretisch konvergieren alle ermittelten Werte für h gegen null
gegen den wahren Ableitungswert, und zwar von 1., 2., bzw 2., 4., 6., 8.
Ordnung in h. Im doppeltlogarithmischen Plot drückt sich die
Ordnung durch die Steigung der approximativen Fehlergeraden aus.
Wegen der Rundungsfehler steigt aber der Fehler schliesslich wieder
an, sodaß eine maximal erreichbare Genauigkeit auftritt.
Diese wächst mit der Ordnung.
h variiert hier stets in den Zweierpotenzen 0 bis -40.
Die Skalen zeigen den dekadischen Logarithmus.
Bei Fall 3 treten 4 Fehlerkurven auf, die zum symmetrischen
Differenzenquotienten und seinen ersten drei Extrapolanten gehören,
also mit der Ordnung 2,4,6 und 8.
u. U. treten für spezielle Eingaben auch keine Rundungsfehler auf,
dies führt zu merkwürdigen Plots, denn wir haben -100 als Maß
für "exakt" benutzt. Der wahre Wert der Ableitung wird analytisch
berechnet (natürlich ist auch dieser Wert gerundet). Wir benutzen
hier für Ihre Eingabe die Methode der automatischen Differentiation.
Deshalb ist diese Eingabe besonders restringiert: nur eine Formel
mit eventuell den spezifischen Standardfunktionen dexp, dlog, dlog10,
dsin, dcos, datan, dsqrt. Der Formeltext darf sich über mehrere
Zeilen erstrecken als fortlaufender Text (das richtige FORTRAN-Format
wird hier intern erzeugt)
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