Tension Spline

• Eine andere Variante der Spline-Interpolation ist der Tension-Spline (Spline unter Spannung). Das physikalische Modell dieses Splines ist die elastische (interpolierende) Linie unter Zugspannung. Dieser Spline ist definiert durch die Forderungen
  s(x)=s_i(x) für x_i<=x<=x_i+1
  s_i"(x)-p²s_i(x)= ((x_i+1-x)*(M_i-p²y_i)+(x-x_i)* (M_i+1-p²y_i+1))/(x_i+1-x_i)
  für x_i<=x<=x_i+1
  M_i = s"(x_i)
  s_i(x_i)=y_i, s_i(x_i+1)=y_i+1
  s"(x₀)=0, s"(x_N)=0,
  s'_i(x_i+1)=s'_i+1(x_i+1), i=0,...,N-1
  
• s ist also zweimal stetig differenzierbar und die einzelnen Stücke sind durch eine lineare Randwertaufgabe 2. Ordnung bestimmt, die homogene Lösung besteht aus exp(-p*x) und exp(p*x). s selbst setzt sich in jedem Intervall also aus einer linearen Funktion und einer Linearkombination von exp(-p*x) und exp(p*x) zusammen. Gleichwertig dazu kann man auch sinh(p*x) und sinh(p*(x+delta_x)) benutzen, wie das hier geschieht.
• Mit wachsender Zugspannung p nähert sich die Konstruktion dann immer mehr einem interpolierenden Streckenzug.
• Man kann hier also einen Kompromiß bilden zwischen der Approximationsgüte und der Welligkeit der Interpolationsfunktion.
• Für p=0 ergibt sich dagegen ein klassischer Spline.
• Hier wird als Randbedingungen das Verschwinden der dritten Ableitung gefordert.

Die Eingaben

• Sie können zwischen der Eingabe eigener (x,y)-Daten und deren Erzeugung durch vorgegebene oder eine eigene Funktion wählen. In ersteren Fall können Sie auch die Textausgabe der Splinedarstellung anfordern.
• Im anderen Fall experimentieren Sie mit Daten, die aus einer Funktion erst erzeugt werden:
• Ausgangspunkt für die Interpolation ist dann die Wahl einer Funktion. Hier stehen 5 Voreinstellungen zur Wahl und es besteht die Möglichkeit, eine eigene Funktion in der FORTRAN-Konvention einzugeben.
• Anzugeben ist die Anzahl der Interpolationstellen. Wichtig: 4 <= n <= 200 !. Die Interpolationsstellen werden dann äquidistant gewählt.
• Das Intervall, in welchem die Interpolation durchgeführt werden soll.
• Der Zugspannungsparameter p. Wichtig: 0 <= p <= 50!

Die Ausgaben

• Haben Sie eigene Daten eingegeben, erhalten Sie eine Grafik mit dem Spline und Ihren Datenpunkten. Wenn Sie dies angefordert haben, wird auch die Formeldarstellung des Splines angezeigt.
• Andernfalls wird die gewählte Funktion angegeben.
• Zwei Grafiken zeigen den Verlauf der Originalfunktion, des Splines bzw. der Differenz dieser beiden Funktionen.

Fragen ?!

• Wie wirkt sich eine Steigerung des Zugspannungsparameters aus ?
• Wie entwickelt sich der Approximationsfehler in Abhängigkeit von der Zugspannung?

Das Eingabeformular

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