|
Newton-Verfahren |
| |
- Das Newton-Verfahren ist das bekannteste Verfahren zur Lösung von nichtlinearen
Gleichungen f(x) = 0.
- Man kann das Verfahren herleiten, indem man 0 = f(x*) um die aktuelle
Iterierte x nach Taylor entwickelt, nach dem linearen Term abbricht,
und nach x* auflöst und das Resultat als
nächste Iterierte definiert.
So entsteht eine Iterationsvorschrift, deren Fixpunkt
die Nullstelle x* ist.
- Das Verfahren ist lokal quadratisch konvergent,
falls f zweimal stetig differenzierbar ist in einer Umgebung
der Nullstelle und f'(x*)<>0 ist.
(Lipschitzstetigkeit der ersten Ableitung ist ebenfalls hinreichend)
- Bei mehrfachen Nullstellen ist die Konvergenz nur noch linear und
es gibt natürlich auch noch numerische Probleme wegen der auftretenden
0/0 Situation (''Rundungsfehler/Rundungsfehler'').
- In einer Nullstelle, die zugleich Wendepunkt mit Steigung <>0 ist,
ist die Konvergenz sogar kubisch. (Bsp.: arctg(x) )
|
| |
|
Die Eingaben |
| |
- Bei der Eingabe der zu lösenden Gleichung gibt es vier vorgegebene Funktionen,
und es besteht die Möglichkeit der Eingabe einer eigenen Funktion.
Diese muß nach den Konventionen der Programmiersprache
FORTRAN eingegeben
werden.
- Das Intervall [a,b], in dem nach Nullstellen der Funktion gesucht werden soll.
Achtung ! Die Berechung bricht ab, wenn die Iteration das Intervall
verläßt.
- Ein Startwert xstart im Intervall [a,b].
|
| |
|
Die Ausgaben |
| |
- Die Iterationsfolge, bis zur Lösung oder bis zum Abbruch.
- Ein animiertes Bild, das den Verlauf der Iteration graphisch
darstellt. Die Funktion wird hierbei rot, die Tangenten
beige und die Iterationspunkte grün geplotted.
Bei sehr hoher Auflösung werden die Graphen unbrauchbar, weil nicht
genügend Funktionswerte gespeichert werden können.
|
| |
|
Fragen ?! |
| |
- Wie ist das Vorgehen des Newton-Verfahrens geometrisch zu interpretieren ?
- In welchen (Start)-Punkten kann es zu Problemen kommen ?
- Welche Art von Problemen kann es geben ?
- Worauf ist also bei der Wahl des Startpunktes unbedingt zu achten ?
- Für welche Funktionen ist das Verfahren immer konvergent?
|
| |
|
|
| |
|
|