Charakteristikenverfahren

• Das Charakteristikenverfahren zur Lösung hyperbolischer DGLen greift sehr stark auf die Eigenschaften dieser partiellen DGLen zurück. Dabei wird verwendet, daß sich der Anfangszustand entlang der Charakteristiken ausbreitet. Hier behandeln wir nur ein festes Beispiel mit bekannter Lösung:
• Im vorliegenden Fall lautet die DGL mit u=(u₁,u₂)
  (d/dy)u₁ = (d/dx)u₂
  (d/dy)u₂ = f1(u)(d/dx)u₁ + f2(u)(d/dx)u₂ + f3(u)
  mit den Anfangswerten u(x,0) = ( 0 , exp(2x) ).
  f1(u)=-(1-u₁**2)/(1-u₂**2)
  f2(u)=2u₁u₂/(1-u₂**2)
  f3(u)=-4u₁exp(2x)/(1-u₂**2)
  mit der exakten Lösung
  u(x,y)=2exp(x)(sin(y) , cos (y) )
  Wir wählen x in [0,1] und approximieren u auf dem Bestimmtheitsbereich diese Intervalls.
• Diese DGL ist quasilinear. Damit hängen die Charakteristiken von der Lösung u(x,y) ab.
• Bei dem implementierten Verfahren werden ausgehend von einer Gittereinteilung der x-Achse zwischen [0,1] die Kreuzungspunkte der beiden Charakteristiken und die Lösung in diesen Kreuzungspunkten approximiert. Dabei entstehen Gitterkurven, die um jeweils zwei Punkte gegenüber dem vorherigen Gitter reduziert sind. Die letzte Gitterkurve besteht nur noch aus einem Punkt.
• Der Vorteil des Charakteristikenverfahrens ist es, daß es den analytischen Bestimmtheitsbereich einer Lösung sehr gut wiedergeben kann. Differenzenverfahren müssen immer von einem größeren Abhängigkeitsbereich ausgehen, um die CFL-Bedingung zu erfüllen.
• Der Nachteil besteht darin, daß der Aufwand der Berechnung oft sehr groß ist und eine Verallgemeinerung auf drei oder mehr freie Variablen defacto undiskutabel ist.

Die Eingaben

• Die Eingaben sind stark reduziert, da nur die oben beschriebene Problemstellung mit festen Funktionen f1,f2,f3 behandelt wird.
• Einziger Parameter zur Steuerung der Genauigkeit ist die Anzahl der Gitterpunkte in [0,1] auf der x-Achse. Mit der Eingabe n wird der Gitterabstand h_x = 1/(2n) bestimmt. Wichtig : 2 <= n <= 2000 !
• Für die Ausgabe der Gitterschichten kann angegeben werden, wieviele Schichten geplottet werden sollen. Dazu wird ein Inkrement p eingegeben. Wichtig für eine brauchbare Darstellung : n/p <= 40 !
• Ferner kann angegeben werden, viele Punkte auf jeder Gitterebene den Plot definieren sollen. Auch hier kann ein Inkrement q eingegeben werden. Wichtig : 1 <= q <= n/4 !

Die Ausgaben

• Ausgeben werden drei Grafiken, welche die Gitterebenen und die Fehler in den beiden Komponenten der Lösung darstellen.

Fragen ?!

• Wie entwickelt sich der Fehler mit steigender Feinheit des Startgitters ?
• Wo treten die größten Fehler auf ?

Das Eingabeformular

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