Die Konvektionsgleichung

• Die 1D-Konvektionsgleichung lautet (d/dt)u + a (d/dx)u = 0, wobei hier x >= 0, t >= 0 und der Konvektionsparameter a > 0 sind. Um eine sinnvolle Problemstellung zu erhalten, wählen wir als Anfangs- und Randwerte u(x,0) = h(x) (für beliebiges x).
  Die Lösung ist konstant auf den Geraden, den sogenannten Charakteristiken, t=(1/a)*x+const und daher lautet die Lösung
  u(x,t)=h(x-a*t).
• Wir beschränken uns auf den Bereich [0,x_end] × [0,t_end]. Der Zeitschritt wird als
  δ_t = t_end/m berechnet und
  der Raumschritt als δ_x=x_end/n mit vorgebbaren n, m. Wir benötigen aber 2n+1 Werte auf der x-Achse jedenfalls für zwei unserer Verfahren (s.u.) stellen jedoch nur den Bereich der ersten n+1 Gitterpunkte dar.
• Konvektionsgleichungen beschreiben Transportvorgänge. Im Falle von a > 0 wird der Anfangszustand in positiver x-Richtung mit der Zeit transportiert. Die Geschwindigkeit ist der Parameter a.
• Die drei verwendeten Verfahren (Friedrichs-, Lax-Wendroff- und das upwind-Verfahren) sind Differenzenverfahren. Friedrichs und upwind sind von 1. Ordnung und Lax-Wendroff von 2. Ordnung konsistent (und konvergent, falls die CFL-Bedingung eingehalten wird). Alle drei Verfahren approximieren die Lösung auf einem Gitter mit den Gitterintervallen δ_t und δ_x .
• Wichtig bei der Anwendung der Verfahren ist, daß die Stabilitätsbedingung CFL eingehalten wird. Diese lautet bei allen drei Verfahren a (δ_t/δ_x) <= 1.

Die Eingaben

• Zunächst wird das Verfahren gewählt.
• Danach werden die Anfangswerte eingegeben. Es gibt eine feste Auswahl und die Möglichkeit, eine eigene Funktion h(x) einzugeben. Die Eingabe dieser Funktion erfolgt in der FORTRAN-Konvention !
• Benötigt wird weiterhin der Parameter a. Wichtig : a > 0 !
• Die Gittergrößen x_end, n, t_end, m . Achtung : Hier spielt die Stabilitätsbedingung eine Rolle !
• Für die grafische Ausgabe kann die Anzahl der Gitterlinien in x bzw. t-Richtung angeben werden (gridx bzw. gridt) und zwei Rotationswinkel für den 3D-Plot.

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird eine grafische Darstellung des Fehlers u^h - u, wobei ''h'' für δ_t bzw. δ_x steht.

Was ist interessant ?

• Wie verhalten sich die unterschiedlichen Verfahren bei der Anfangswertvorgabe h(x) = sign(1.0e0,x) ?
• Was passiert, wenn die Stabilitätsbedingung verletzt wird ?
• Lässt sich die Konvergenzordnung verifizieren ?

Das Eingabeformular

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