Gauß-Kronrod-Formeln

• Die Gauß-Kronrod-Formeln sind Quadratur-Formeln mit sehr hoher Ordnung (3n+1). Sie entstehen, indem man zur klassischen Gauss-Formel mit n Knoten (und der Ordnung 2n, d.h. Exaktheit für Polynome vom Grad 2n-1) n+1 weitere Knoten geeignet hinzufügt. D.h. sie können bei nur 2n+1 Funktionsauswertungen jedes Polynom vom Grade 3n exakt integrieren. Man hat dann mit den Funktionsauswertungen die Möglichkeit, sowohl die Näherung der Ordnung 2n als auch die mit der Ordnung 3n+1 zu bilden und hat mit deren Differenz eine gute Schätzung des Quadraturfehlers.
• Mit diesem Integrator wird in dem hier verwendeten Algorithmus (aus QUADPACK) eine adaptive Quadratur konstruiert. Die Teilintervalle [x_i,x_i+1] werden durch fortgesetzte Halbierung bzw. Verdoppelung so angepasst, daß der diskontierte Teilfehler auf diesen Intervallen die Bedingung
  |err_i| <= (x_i+1-x_i)/(b-a) *( epsrel |I_i| + epsabs )
  erfüllt. Es steht dabei eine große Auswahl für n zur Verfügung, nämlich bis zu n=30, d.h. Ordnung 91.

Die Eingaben

• Eingegeben wird die Funktion, die integriert werden soll. In einer Tabelle sind einige Funktionen zur Auswahl angegeben. Anbei befinden sich die exakten Integralwerte und evtl. die maximale Differenzierbarkeitsstufe. Bei den vorgegebenen Funktionen ist das Integrationsintervall immer [0,1].
• Es besteht auch die Möglichkeit, eine eigene Funktion einzugeben (FORTRAN-Konvention). Dazu werden dann Integrationsgrenzen benötigt.
• Es sind zwei Fehlerparameter epsrel und epsabs anzugeben. Der Algorithmus versucht,
  |Fehler| <= epsabs+epsrel*|I|
  zu erreichen, wo I der genäherte wahre Integralwert ist.
• Die Ordnungstufe n ist aus einer gegebenen Menge auszuwählen.

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die zu integrierende Funktion, die Integralnäherung, die Fehlerschätzung, die benötigten Funktionsauswertungen und (falls bekannt) der exakte Fehler.
• Eine Grafik zeigt die Funktion, verschoben um ihren Minimalwert, und als negative Impulse die verwendeten Knoten.

Fragen ?!

• Vergleichen Sie die unterschiedlichen Ordnungstufen !
• Welche Rolle spielt dabei die Differenzierbarkeitsstufe der Funktion ?

Das Eingabeformular

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