Adaptive Quadratur mit der Simpsonregel

 
  • Numerische Näherungswerte für bestimmte Integrale kann man erhalten, indem man ein Interpolationspolynom der Funktion exakt integriert. Es wird also die zu integrierende Funktion f(x) entweder auf dem ganzen Integrationsintervall [a,b] oder auf Teilintervallen durch Interpolationspolynome ersetzt. Diese Polynome können dann sehr einfach analytisch integriert werden und liefern so eine Näherung für das eigentliche Integral.
  • Dieses Quadraturverfahren beruht auf der zusammengesetzten Simpsonregel mit nichtäquidistanter Gittereinteilung. Die Funktion wird auf Teilintervallen [xl,xr] von [a,b] durch eine Parabel zweiter Ordnung interpoliert und letztere wird exakt integriert. Durch Summation der Teilintegrale entsteht die Integral-Näherung. Die Teilintervalle werden adaptiv festgelegt. Das Verfahren ist exakt fuer Polynome vom Grad kleinergleich 3. Der Gesamtfehler kann durch
    (1/180)*h_max_used4*(b-a)*max{ |f(4)(x)| : x in [a,b] }
    nach oben abgeschätzt werden.
  • Hier wird die Intervallunterteilung adaptiv bestimmt. Dazu wird neben der einfachen Simpsonformel auf [xl,xr] , nämlich
    (xr-xl)/6*(f(xl)+4*f((xr+xl)/2)+f(xr))
    die gleiche Formel noch einmal je auf [xl,(xr+xl)/2] und [(xl+xr)/2,xr] angewendet. Die Differenz dieser Werte, geteilt durch 15/16, liefert eine Schätzung für den Fehler auf [xl,xr] . Aus der Forderung, daß dieser die Forderung
    Teilfehler <= eps*(xr-xl)/(b-a)
    erfüllt kann man danach das optimale xr-xl berechnen. Die Summation der geschätzten Teilfehler ergibt die hier ausgegebene Fehlerschätzung und der in der Regel genauere summierte Wert aus den Intervallhälften den ausgegebenen Integralnäherungswert.
  • Diese Art der Fehlerschätzung hat ihre Grenzen: das zweite vorgegebene Beispiel hat den wahren Wert 0.5 auf [0,1]. Erproben Sie es mit hmax=0.1 und eps=0.00001.
 

Die Eingaben

 
  • Einzugeben ist die Funktion, die integriert werden soll. Es stehen zwei fest vorgegebene Funktionen zur Auswahl, und es besteht die Möglichkeit, eine eigene Funktion im FORTRAN-Format einzugeben.
  • Benötigt wird auch das Intervall [a,b], auf dem integriert werden soll.
  • Notwendig ist die Angabe einer maximalen Schrittweite hmax. Sonst würde eventuell die Schrittweite unsinnig vergrössert.
  • Ferner benötigt die adaptive Quadratur die Angabe des maximal erlaubten Fehlers eps des Integrals. Hier stehen zwei Genauigkeitstufen zur Auswahl.
 

Die Ausgaben

 
  • Ausgegeben werden die gewählten Einstellungen, also Funktion, Intervall, hmax und Genauigkeitsstufe.
  • Eine Grafik gibt den Integranden wieder und zeigt die verwendeten Teilintervalle an.
 

Fragen ?!

 
  • Bei welchen Funktionen gibt es offensichtlich Probleme ?
  • Wie verhalten sich die Funktionsauswertungen zu den eingegebenen Funktionen ?
  • Wie sollte hmax also unter Umständen gewählt werden ?
  • Wie wirkt sich die Wahl von hmax auf den Aufwand aus ?
  • Was passiert, wenn man unstetige Funktionen (z.b. sign(...)) eingibt?
  • Erklären Sie die Resultate bei Beispiel 2 mit verschiedenen Werten für hmax.
 

Das Eingabeformular

 
 

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22.08.2016