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Adaptive Quadratur mit der Simpsonregel |
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- Numerische Näherungswerte für bestimmte Integrale kann man
erhalten, indem man ein Interpolationspolynom der Funktion exakt integriert.
Es wird also die zu integrierende Funktion f(x) entweder
auf dem ganzen Integrationsintervall [a,b] oder auf Teilintervallen durch
Interpolationspolynome ersetzt. Diese Polynome können dann sehr einfach
analytisch integriert werden und liefern so eine Näherung für das
eigentliche Integral.
- Dieses Quadraturverfahren beruht auf der zusammengesetzten Simpsonregel
mit nichtäquidistanter Gittereinteilung. Die Funktion wird auf
Teilintervallen
[xl,xr] von [a,b] durch eine Parabel zweiter Ordnung interpoliert und letztere
wird exakt integriert. Durch Summation der Teilintegrale entsteht die
Integral-Näherung.
Die Teilintervalle werden adaptiv festgelegt. Das Verfahren ist
exakt fuer Polynome vom Grad kleinergleich 3. Der Gesamtfehler kann durch
(1/180)*h_max_used4*(b-a)*max{ |f(4)(x)| : x in [a,b] }
nach oben abgeschätzt werden.
- Hier wird die Intervallunterteilung adaptiv bestimmt. Dazu wird neben der
einfachen Simpsonformel auf [xl,xr] , nämlich
(xr-xl)/6*(f(xl)+4*f((xr+xl)/2)+f(xr))
die gleiche Formel noch einmal je auf [xl,(xr+xl)/2] und
[(xl+xr)/2,xr] angewendet. Die Differenz dieser Werte, geteilt durch
15/16, liefert eine Schätzung für den Fehler auf [xl,xr] .
Aus der Forderung, daß dieser die Forderung
Teilfehler <= eps*(xr-xl)/(b-a)
erfüllt kann man danach das optimale xr-xl berechnen. Die Summation der
geschätzten Teilfehler ergibt die hier ausgegebene Fehlerschätzung
und der in der Regel genauere summierte Wert aus den Intervallhälften den
ausgegebenen Integralnäherungswert.
- Diese Art der Fehlerschätzung hat ihre Grenzen: das zweite vorgegebene
Beispiel hat den wahren Wert 0.5 auf [0,1]. Erproben Sie es mit
hmax=0.1 und eps=0.00001.
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Die Eingaben |
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- Einzugeben ist die Funktion, die integriert werden soll. Es stehen zwei
fest vorgegebene Funktionen zur Auswahl, und es besteht die Möglichkeit, eine
eigene Funktion im FORTRAN-Format einzugeben.
- Benötigt wird auch das Intervall [a,b], auf dem integriert
werden soll.
- Notwendig ist die Angabe einer maximalen Schrittweite
hmax. Sonst würde eventuell die Schrittweite unsinnig
vergrössert.
- Ferner benötigt die adaptive Quadratur die Angabe des maximal
erlaubten Fehlers eps des Integrals. Hier stehen zwei Genauigkeitstufen zur Auswahl.
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Die Ausgaben |
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- Ausgegeben werden die gewählten Einstellungen, also Funktion,
Intervall, hmax und Genauigkeitsstufe.
- Eine Grafik gibt den Integranden wieder und zeigt die verwendeten
Teilintervalle an.
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Fragen ?! |
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- Bei welchen Funktionen gibt es offensichtlich Probleme ?
- Wie verhalten sich die Funktionsauswertungen zu den eingegebenen Funktionen ?
- Wie sollte hmax also unter Umständen gewählt
werden ?
- Wie wirkt sich die Wahl von hmax auf den Aufwand aus ?
- Was passiert, wenn man unstetige Funktionen (z.b. sign(...)) eingibt?
- Erklären Sie die Resultate bei Beispiel 2 mit verschiedenen Werten
für hmax.
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