Das Jacobi-Verfahren

• Um alle Eigenwerte einer symmetrischen Matrix A zu bestimmen, kann man das Jacobi-Verfahren verwenden.
• Die Idee des Verfahrens ist einfach: Man bildet eine Folge von Matrizen A_k, A₀=A, die gegen eine Diagonalmatrix konvergiert. Dabei entsteht jede Matrix aus ihrer Vorgängerin durch eine unitäre Ähnlichkeitstransformation.
• Diese Transformationen sind Rotationen, die ein Ausserdiagonalelement (und natürlich sein gespiegeltes) der Matrizen in Null überführt. Bereits erzeugte Nullen werden wieder zersört, aber die Quadratsumme der Ausserdiagonalelemente fällt streng monoton.
• Nach Konstruktion ist jeder Häufungspunkt des Produkts der unitären Matrizen eine Matrix von Eigenvektoren von A.
• Die Konvergenz ist im allgemeinen quadratisch. Hier wird eine Variante benutzt, bei der pro Durchlauf der n(n-1)/2 Ausserdiagonalelemente alle Elemente, die über einem Niveau ("treshhold", Bruchteil der Frobeniusnorm der Matrix der Ausserdiagonalelemente) liegen, erfasst werden. Danach wird das Niveau abgesenkt.

Die Eingaben

• Die Matrix kann aus vier Fällen ausgewählt werden:
  1. Eine 8x8-Matrix mit bekannter Eigenwertverteilung.
  2. Eine 5-Bandmatrix, die bei der Diskretisierung des Balkenbiegungs-Problems entsteht. Die Dimension ist variabel, die Eigenwerte sind bekannt.
  3. Eine eigene Eigenwertverteilung kann angegeben werden, aus der mit Hilfe einer festen Eigenvektormatrix die Matrix A erzeugt wird.
  4. Das untere Dreieck einer eigenen Matrix A. Einträge zeilenweise, durch Kommata oder Leerzeichen getrennt.
• Die Dimension n der Matrix, falls der Fall 2,3,4 gewählt wurde. Im Falle der Matrix 2 muss 3 <= n <= 30 sein, sonst 2 <= n <= 30 !
• Wird die Ausgabe der Matrix A gewünscht ?
• Wird die Ausgabe der approximierten Eigenvektoren gewünscht ?

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die Matrix A, falls dies gewünscht wurde.
• Die Anzahl der angewendeten Rotationen.
• Die approximativen Eigenwerte (falls kein Programmabbruch aufgetreten ist) und die Abweichung zu den echten Eigenwerten, falls diese bekannt sind.
• Die approximativen Eigenvektoren, falls dies gewünscht wurde.
• Ein Grafik, die den Verlauf des dekadischen Logarithmus' des Fehlers (||A_k-D_k||_F)² angibt. Dabei ist A_k die Iterationsmatrix und D_k ihr Diagonalteil.

Fragen ?!

• Wie hängt die Konvergenz von der Eigenwertverteilung ab ?
• Wie ändern sich Eigenwerte und Eigenvektoren, wenn man Elemente von A symmetrisch abändert ?

Das Eingabeformular

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