Fast-Fourier-Transformation: Fourier Entwicklung

• Hier demonstrieren wir die Berechnung der Fourierentwicklung einer gegebenen Funktion auf [0,2*pi] mit Hilfe der Fast-Fourier-Transformation. Dabei wird durch Interpolation der n+1 Datenpunkte (x_i,y_i) mit x_i = 2*pi*i/n eine Annäherung der Fourierkoeffizienten erreicht, die der Anwendung der zusammengesetzten Trapezregel auf die Fourierintegrale entspricht (warum?) unter Anwendung der besonderen Eigenschaften dieser Quadraturregel in diesem Fall (welchen?). Die Fouriersumme wird dabei in der Form
  azero+summe(i=1,m){ a_icos(i*x)+b_isin(i*x)}+(a_(m+1)cos((m+1)*x))
  angesetzt. Die Koeffizienten dieser endlichen Fouriersumme werden durch die Datenpunkte (x_i,y_i=f(x_i) bestimmt.
• Der hier verwendete Algorithmus erzeugt die Datenpunkte aus einer anzugebenden Funktion f

Die Eingaben

• Die zu approximierende Funktion f Wenn Sie eine eigene Funktion definieren, müssen Sie sie hier durch ein Programmstück definieren. Achtung: hier ist die spezielle Behandlung der ersten 6 Eingabespalten zu beachten!
• Das zu betrachtende Intervall (das intern auf [0,2*pi] linear transformiert wird)
• Die Skalierung der y-Achse
• Die Anzahl der Stützstellen n+1, die interpoliert werden sollen
• Achtung: n+1 darf nur die Primfaktoren 2,3 und 5 enthalten!

Die Ausgaben

• Ausgegeben werden die Koeffizienten der Fourier-Entwicklung.
• Die ausgegebene Grafik zeigt:
  1. Den Graphen der "Original-Funktion"
  2. Den Graphen der Fourier-Approximation
• Achtung: Bei einer hohen Anzahl von Stützstellen können die beiden Funtionen so dicht beieinander liegen, dass man nur einen Graphen sieht!!

Fragen ?!

• Was fällt an den Graphen der Fourierapproximationen auf?
• Welche Funktionen können mit diesem Verfahren besonders gut approximiert werden?
• Was passiert, wenn f nicht periodisch ist auf [0,2*pi]?

Das Eingabeformular

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