| |
- Unter Interpolation einer gegebenen Funktion f versteht man die Bestimmung
einer "einfachen" Funktion p, deren Werte in einer
gegebenen Anzahl von Stützstellen xi, i=0,...,n,
mit denen von f übereinstimmen. Bei der Polynominterpolation ist
diese interpolierende Funktion
ein Polynom vom Grade <= n, falls n+1 paarweise verschiedene
Stützstellen
xi, i=0,...,n, gegeben sind.
- Zur Bestimmung des Interpolationspolynoms gibt es mehrere Methoden. Die
Form nach Lagrange wird eher in theoretischem Zusammenhang benutzt, da
sie berechnungsaufwendiger ist. Das Interpolationspolynom nach Newton
ist in der Praxis die bessere Variante. Beide Polynome sind identisch,
da die Interpolation mit Polynomen eindeutig ist.
- Das hier berechnete Newton'sche Interpolationspolynom wird dabei mit dem
Schema der dividierten Differenzen bestimmt.
Der Berechnungsaufwand ist O(n2) für die
Polynomkoeffizienten und O(n) für einen Polynomwert. Der
Interpolationsfehler ist
f(n+1)(x~)/((n+1)!)*(x-x0)*...*(x-xn)
wo x~ eine Stelle zwischen x und den xi
ist und deshalb
<= Mn+1/((n+1)!)*(b-a)n+1
für beliebige Anordnung dieser Werte in [a,b], wo Mn+1
das Maximum der n+1-ten Ableitung von f ist. Ist diese
Ableitung auf dem ganzen Intervall nach unten betragsmässig durch mn+1>0
beschränkt, dann gibt es mindestens eine Stelle x in [a,b]
sodaß
|f(x)-p(x)| >= mn+1/((n+1)!)*2*((b-a)/4)n+1
ist, auch für die bestmögliche Anordnung der xi.
Daran erkennt man, daß diese Art von Approximation auf kleinen
Intervallen immer gute Resultate liefern wird, aber nicht, wenn es eine
(eventuell komplexe) singuläre
Stelle von f gibt, die einen Abstand < 1/(b-a) vom Intervall hat.
|
| |
- Sie haben die Möglichkeit, einen eigenen Datensatz interpolieren
zu lassen oder aber Daten mit Hilfe einer Funktion erst zu generieren
und diese dann zu interpolieren.
- Für die Wahl der zu interpolierenden Funktion f gibt es
die Möglichkeit, zwischen 5 vordefinierten Funktionen zu wählen oder
eine eigene Funktion zu definieren. Die Eingabe dieser eigenen Funktion
folgt den Konventionen der Programmiersprache FORTRAN.
- Der Grad n der Interpolation, also der Höchstgrad des
Interpolationspolynoms
muß eingegeben werden. Wichtig : 1 <= n <= 50 !
- Wenn Sie eigene Daten vorgeben, eine Liste von (x,y)-Daten.
- Andernfalls:
- Das Intervall, in dem die Funktion f interpoliert werden soll,
muß angegeben werden.
- Die Stützstellen können dann entweder äquidistant in
diesem Intervall genommen werden,also
a+i*(b-a)/n
oder gemäß den transformierten
Tschebyscheff-Abszissen, also
(a+b)/2+((b-a)/2)*cos(((2*i+1)/(2*n+2))*pi)
.
- Sie haben die Wahl, die Polynomauswertungsformel anzuzeigen und ebenso die
Tabelle der dividierten Differenzen.
|