Nullstellen einer reellen Funktion durch Einschachtelung

• Hier finden Sie ein Programm, welches vier verschiedene Verfahren verwendet, um die Nullstelle einer Funktion einer reellen Veränderlichen zu bestimmen:
  1. Intervall-Halbierungs-Verfahren
  2. Regula-Falsi Verfahren (lineare Interpolation) durch die Intervallendwerte.
  3. Illinois-Verfahren (Modifikation der Regula Falsi mit superlinearer Konvergenz.)
  4. Brent Decker-Verfahren (i.w. fortgesetzte inverse quadratische Interpolation, abgesichert mit Intervallhalbierung und Regula Falsi)
• Zur Berechnung der Lösung werden nur die Funktionswerte benutzt.
• Die Ergebnisse der verschiedenen Verfahren werden zum Vergleich direkt nebeneinandergestellt.
• Achtung: da diese Verfahren eine Nullstelle finden, kann es bei Vorliegen mehrerer Lösungen im Intervall z.B.
  exp(x)*sin(pi*x)-0.01*x, x in [0.1,11.5]
  vorkommen, dass die verschiedenen Verfahren auch verschiedene Lösungen finden und ein direkter Vergleich dann keinen Sinn macht.

Die Eingaben

• Das Intervall [a,b], in welchem die Nullstelle gesucht werden soll. Wichtig : a < b und f(a)*f(b) < 0 !
• eps : Die relative Genauigkeit, mit der die Nullstelle eingeschachtelt werden soll. D.h. b-a wird auf (b-a)*eps reduziert. Wichtig : 1.d-14 < eps < 1.d-2 ! Bei der 'regula falsi' wird dieser Test durch
  min(x_k-a_k,b_k-x_k) <= eps*(b₀-a₀)
  ersetzt. Die mit 'k' indizierten Werte stellen die laufende Einschachtelung dar und x_k ist der neue Testwert.
• Die Formel der Funktion f, die von der Variablen x abhängt in FORTRAN-Schreibweise. Dazu können Sie hier mehrere Zeilen benutzen. Wenn hierbei Teilausdrücke wiederholt auftreten, so kann man diese den Variablen kl1,..,kl5 zuweisen und dann in der Funktionsformel die Ausdrücke durch diese Variablen ersetzen.
  Desweiteren können Sie die Variablen pi, e1 = exp(1) und sqrt2 = sqrt(2) benutzen. Deklaration eigener Variablen ist nicht möglich.
• Falls Sie die Hilfsvariablen kl1,...,kl5 verwenden wollen, so müssen Sie deren Definition eingeben.

Die Ausgaben

• Für alle vier Verfahren die Anzahl der berechneten Funktionswerte,
• die letzte Nullstellennäherung und deren Funktionswert
• sowie eine graphische Darstellung der Iteration. Die Balken in den Graphiken stellen die Testpunkte dar.
  Hinweis: In der Grafik wird die Nullstelle als Zentrum genommen und dann die umliegende Intervallbreite pro Bild um 1/10 reduziert. Bei den überlinear konvergenten Verfahren kann es vorkommen, dass dann keine Näherungswerte in den letzten Intervallen zu sehen sind.

Fragen ?

• Vergleich zwischen den vier Verfahren bezüglich des Aufwandes?
• Vergleich zwischen den vier Verfahren bezüglich der erreichten Genauigleit?
• Warum ist das Abbruchkriterium bei der regula falsi abgeändert worden?

Das Eingabeformular

Zurück: Nichtlineare Gleichungssysteme