Zweidimensionale-Newton-Verfahren

• Das Newton-Verfahren ist das bekannteste Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme F(x,y) = (f₁,f₂)(x,y) = 0.
• Man kann das Verfahren herleiten, indem man 0=F(x^*,y^*) um die aktuelle Iterierte (x,y) Taylor-entwickelt, nach der ersten Ableitung abbricht und nach (x^*,y^*) auflöst. Dabei ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit der Jacobimatrix der Vektorfunktion F(x,y) und einer Richtung d = (d_x,d_y) (der sog. Newton-Richtung) als Lösung. Die nächste Iterierte ergibt sich dann als (x,y)_neu = (x,y)_alt+(d_x,d_y).
• Das Verfahren ist anwendbar auf beliebig viele nichtlineare Gleichungen mit gleich vielen Unbekannten.
• Bei hohen Dimensionen wird allerdings die Berechnung der Ableitungen und das Lösen der linearen Gleichungssysteme immer aufwendiger.
• Das Verfahren ist lokal quadratisch konvergent.

Die Eingaben

• Bei der Eingabe der zu lösenden Gleichungen gibt es vier vorgegebene Fälle, und es besteht die Möglichkeit der Eingabe eigener Funktionen. Diese muß nach den Konventionen der Programmiersprache FORTRAN erfolgen. Die Variablen sind dabei x und y.
• Im Falle einer eigenen Funktion muß ein Rechteck [x_min,x_max] × [y_min,y_max] angegeben werden, in dem nach Nullstellen der Funktion gesucht werden soll. Achtung ! Die Berechung bricht ab, wenn die Iteration das Rechteck verläßt.
• Ein Startwert x_start und y_start (ist anzugeben im Rechteck [x_min,x_max] × [y_min,y_max]).
• Da als Ausgabe ein animiertes (png)-Bild aus 3D-Plots erzeugt wird, kann man den Betrachtungswinkel der Projektion bei der Erzeugung der Plots angeben. (xang und zang sind Rotationswinkel um die z- und die x-Achse. xang=0, zang=0 bedeutet Bildschirm ist (x,z) Ebene, y- Achse deutet auf den Betrachter)

Die Ausgaben

• Die Iterationsfolge, bis zur Lösung oder bis zum Abbruch.
• Ein animiertes Bild (png), das den Verlauf der Iteration graphisch darstellt. Dabei werden die beiden Funktionen und die Nullebene geplottet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems liegt im Schnittpunkt aller drei Flächen. Die Iterationsfolge wird durch senkrechte Striche angedeutet (genau hinschauen !).

Fragen ?!

• In welchen (Start)-Punkten kann es zu Problemen kommen ?
• Woher kommen diese Probleme rechnerisch ?
• Worauf ist also bei der Wahl des Startpunktes unbedingt zu achten ?

Das Eingabeformular

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