Lösung der Helmholtz-Gleichung

• Die Helmholtz-Gleichung ist ein klassisches Beispiel einer elliptischen partiellen DGL in zwei Raumdimensionen. Die Gleichung lautet
  (d/dx)**2 u +(d/dy)**2 u + λ*u = f
  Wir betrachten hier die einfachsten Randbedingungen, nämlich (x,y) in [a,b]x[c,d] und λ <= 0.
• Elliptische DGLen beschreiben von der Zeit unabhängige Vorgänge. Hier handelt es sich um die Verformung einer Membran unter einer äusseren Last f und dem Eigengewicht.
• Auf dem Rand des Rechtecks [a,b]x[c,d] müssen sogenannte Randwerte angegeben werden, um ein korrekt gestelltes Problem zu definieren. Diese Randwerte können sich auf die Funktionswerte von u beziehen (Dirichlet-Randdaten) oder auf die Normalableitung von u (von Neumann-Randdaten). (oder auf eine Linearkombination von beiden. Dieser Fall ist jedoch hier nicht implementiert.)
• Gelöst wird das elliptische Randwertproblem mit einem Differenzenverfahren unter Verwendung des klassischen 5-Punkte-Differenzen-Sterns.
• Dazu wird das Gebiet [a,b]x[c,d] mit einem äquidistanten Rechteck-Gitter überzogen und die Lösung u wird nur in den Gitterpunkten approximiert.
• Die Konvergenz des Verfahrens ist bei hinreichender Differenzierbarkeit der wahren Lösung u quadratisch im Gitterabstand h.

Die Eingaben

• Neben zwei voreingestellten Problemstellungen gibt es die Möglichkeit, eine eigene Problemstellung zu definieren. Bei den voreingestellten Fällen ist die wahre Lösung bekannt.
• Bei der ersten Voreinstellung ist die Lösung u in C⁴ und damit die Konvergenzrate O(h²).
• Bei der zweiten Variante ist u in C³ im Inneren des Rechtecks und sogar nur C² auf den Rand.
• Im Falle einer eigenen Problemstellung sind folgende Eingaben notwendig:
  1. Die Funktion f(x,y). Die Eingabe dieser Funktion folgt den Konventionen der Programmiersprache FORTRAN.
  2. Die Art der Randwerte auf den Rändern des Rechtecks. Bei Dirichlet-Randdaten werden die Funktionswerte der Lösung u vorgegeben und bei von Neumann-Randdaten die Werte der Normalableitung von u auf den Randstücken. Die Eingabe kann für jede Kante des Rechteckes individuell eingestellt werden.
  3. Die Funktionen, die diese Randdaten definieren.
  4. Der Parameter λ. Wichtig λ <= 0 !.
  5. Das Rechteck [a,b]x[c,d].
  6. Da als Ausgabe ein png-Bild aus 3D-Plots erzeugt wird, kann man den Betrachtungswinkel der Projektion bei der Erzeugung der Plots angeben.
• Für alle drei Fälle wird die Eingabe der Teilintervalle benötigt, in die [a,b](m) bzw. [c,d](n) zerlegt werden sollen. Der Gitterabstand ist damit h_x = (b-a)/m und h_y = (c-d)/n . Wichtig : 3 <= m,n <= 100 !

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die exakte Lösung (in den voreingestellten Fällen).
• Der maximale absolute Fehler, falls die Lösung bekannt ist.
• Ein 3D-Plot der berechneten Gitterfunktion.

Fragen ?!

• Wie hängt der Fehler vom Gitterabstand ab ?
• Was passiert bei reduzierten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ?
• Wie muss man die Randvorgaben wählen, damit man eine C4-Lösung erhält?

Das Eingabeformular

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