Uneigentliche Integration

• Die Gauß-Kronrod-Formeln sind Quadratur-Formeln mit sehr hoher Ordnung (3n+1). Sie entstehen, indem man zur klassischen Gauss-Formel mit n Knoten (und der Ordnung 2n, d.h. Exaktheit für Polynome vom Grad 2n-1) n+1 weitere Knoten geeignet hinzufügt. D.h. sie können bei nur 2n+1 Funktionsauswertungen jedes Polynom vom Grade 3n exakt integrieren. Man hat dann mit den Funktionsauswertungen die Möglichkeit, sowohl die Näherung der Ordnung 2n als auch die mit der Ordnung 3n+1 zu bilden und hat mit deren Differenz eine gute Schätzung des Quadraturfehlers. Eine Anwendung der Integration nach Gauß-Kronrod ist die Approximation von uneigentlichen Integralen. Dabei wird ausgenutzt, daß die Knoten der Gauß-Kronrod-Quadratur (genau wie die der Gauß-Quadratur) im Inneren des Intervalls liegen.
• Bei einem uneigentlichen Integral von Typ I_b^∞ f(x) dx wird zunächst mit der Transformation z = 1/(x-b+1) auf das Intervall (0,1] transformiert.
• Da in der 0 keine Auswertung des Integranden auftritt, kann nun die adaptive Quadratur auf Basis der Gauß-Kronrod-Formeln angewendet werden. Dabei wird versucht, auf jedem Teilintervall die Forderung
  |err_i| <= (x_i+1-x_i)/(b-a) *( epsrel |I_i| +epsabs)
  für den Integrationsfehler zu erfüllen. I_i ist der geschätzte wahre Wert des Teilintegrals.
• Uneigentliche Integrale auf (-unendl,b] werden durch Vorzeichenumkehr behandelt und Integrale über ganz R werden in zwei Teile zerlegt.

Die Eingaben

• Eingegeben wird die Funktion, die integriert werden soll. In einer Tabelle sind einige Funktionen zur Auswahl angegeben. Dabei sind die exakten Integralwerte angegeben. Der Integrationsbereich ist dabei stets [0,unendlich[.
• Es besteht auch die Möglichkeit, eine eigene Funktion einzugeben (FORTRAN-Konvention). Dazu werden dann Integrationsgrenzen bzw. Typ des Integrals benötigt.
• Es sind die zwei Parameter epsrel und epsabs anzugeben.
• Für die Ordnungstufe n ist die Wahl n=7, d.h. Ordnung=21, vorgegeben.

Die Ausgaben

• Ausgegeben wird die zu integrierende Funktion, die Integralnäherung, die Fehlerschätzung, die benötigten Funktionsauswertungen und (falls bekannt) der exakte Fehler.
• Eine Grafik zeigt die auf ]0,1] transformierte Funktion (genauer die stückweise linear Interpolierende der benutzten Funktionswerte), vermindert um den Minimalwert, sowie als negative Impulse die Teilintervallgrenzen.

Fragen ?!

• Welche Rolle spielt das Abklingverhalten der Funktion hier ?
• Was passiert, wenn die Funktion eine Singularität im Intervallinneren besitzt?

Das Eingabeformular

Zurück: Quadratur